Distribution Check

Wie wir bereits in vorherigen Sessions gesehen haben, ist sDur nicht normalverteilt:

shapiro.test(data_s$sDur)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  data_s$sDur
W = 0.93622, p-value = 2.761e-06

Wir nutzen daher eine log-transformierte Version der Variable als abhängige Variable im weiteren Vorgehen:

data_s$sDurLog <- log(data_s$sDur)

Modell-Erstellung

Nun erstellen wir das Modell:

lineares.modell1 <- lm(sDurLog ~ speakingRate, data = data_s)

Regressionsmodelle sollten immer als Objekt gespeichert werden. Daher nennen wir dieses erste Modell lineares.modell1. So ist sichergestellt, dass wir das Modell auch mit weiteren Funktionen nutzen können.

Koeffizienten

Nun schauen wir uns zunächst an, was R ausgibt, wenn wir das erstellte Modell abfragen:

lineares.modell1

Call:
lm(formula = sDurLog ~ speakingRate, data = data_s)

Coefficients:
 (Intercept)  speakingRate  
      -1.694        -0.121  

Hier finden wir erneut die Formel zu unserem Modell sowie das genutze Datenset. Außerdem erhalten wir die Coefficients. Doch was beudeuten diese Angaben?

• (Intercept): der Y-Achsenabschnitt unserer Regressionsgeraden, d.h. die durchschnittliche vorhergesagte Dauer eines /s/ bei niedrigster Sprechgeschwindigkeit.
• speakingRate: die Steigung der Regressionsgeraden

Beachte die folgende Darstellung, um (Intercept)- und speakingRate-Coefficients ungefähr wiederzufinden:

Signifikanz

Interessant nach dem Erstellen eines Modells ist natürlich die Frage, ob \(Y\) wirklich von \(X\) vorhergesagt werden kann, also ob im vorliegenden Fall die Dauer von /s/ durch die Sprechgeschwindigkeit modelliert wird. Dies finden wir mit der anova() Funktion heraus:

anova(lineares.modell1)

Analysis of Variance Table

Response: sDurLog
              Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
speakingRate   1  1.8858 1.88579  12.108 0.0006598 ***
Residuals    148 23.0506 0.15575                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Hier erhalten wir einige Werte zu den Bestandteilen des Modells. Für uns interessant ist der p-Wert (Pr(>F)): liegt dieser unter \(0.05\), so können wir davon ausgehen, dass \(X\) tatsächlich \(Y\) beeinflusst, d.h. modelliert.

Summary

Auch die summary() Funktion kann mit Einfachen Linearen Modellen genutzt werden:

summary(lineares.modell1)

Call:
lm(formula = sDurLog ~ speakingRate, data = data_s)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-0.9830 -0.2663 -0.0456  0.3001  0.9196 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -1.69351    0.12418  -13.64  < 2e-16 ***
speakingRate -0.12096    0.03476   -3.48  0.00066 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3946 on 148 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.07562,   Adjusted R-squared:  0.06938 
F-statistic: 12.11 on 1 and 148 DF,  p-value: 0.0006598

Hier erhalten wir unter Call zunächst wieder das Modell, welches wir zuvor erstellt haben.

Außerdem erhalten wir die Residuals des Modells, welche einige statistische Messwerte beinhalten: Median, Mean, 1. und 3. Quartil, sowie den kleinsten und größten Wert.

Unter Coefficients erhalten wir nun ausführlichere Informationen als zuvor. Erneut enthalten sind die Estimates für (Intercept) und speakingRate. Außerdem erhalten wir nun auch den Standardfehler sowie t-Wert und p-Wert. Der t-Wert wird zur Berechnung des p-Wertes genutzt; der p-Wert gibt an, ob eine Variable (in diesem Fall speakingRate) einen signifikanten Unterschied macht.

Die letzten drei Zeilen der summary() sind für uns nicht so wichtig.

Kategorische Prediktoren

Aber nicht nur kontinuierliche Variablen wie Sprechgeschwindigkeit können in Einfacher Linearer Regression als vorhersagende Variable genutzt werden. Das folgende Modell nutzt die kategorische Variable location:

lineares.modell2 <- lm(sDurLog ~ location, data = data_s)

Schauen wir uns nun die ANOVA zu diesem Modell an, sieht diese wie folgt aus:

anova(lineares.modell2)

Analysis of Variance Table

Response: sDurLog
           Df  Sum Sq  Mean Sq F value Pr(>F)
location    1  0.0165 0.016544  0.0983 0.7544
Residuals 148 24.9198 0.168377               

Wir stellen fest: location erhält keinen p-Wert unter \(0.05\), d.h. location macht keine signifikanten Vorhersagen über die abhängige Variable, d.h. die Dauer von /s/.

Linearity

library(performance)

plot(check_heteroscedasticity(lineares.modell1))

OK: Error variance appears to be homoscedastic (p = 0.439).

The line should be horizontal and flat.

Homoscedasticity

library(performance)

plot(check_heteroscedasticity(lineares.modell1))

OK: Error variance appears to be homoscedastic (p = 0.439).

Data points should be spread equally around the line, with no obvious patterns visible.

Normality

library(performance)

plot(check_normality(lineares.modell1))

OK: residuals appear as normally distributed (p = 0.296).

The distribution of a linear model’s residuals should be normally distributed as indicated by the greenish/blueish curve.

Independence

Independence cannot be checked visually. It is an assumption that you can test by examining the study design.